Aug 25

 设X是一个有限集,X的一个对自身的置换可视为一个函数,根据鸽巢原理,f : X -> X是满的。不经意间见到可爱的鸽巢MM。{{1,2,...,n}}的所有n!个置换构成的集合记为Sn。置换满足结合律,但不满足交换律。恒等置换就是自身不变的置换。

如果Sn中的置换的非空子集G满足如下三条性质,则定义它为X的一个置换的群,简称置换群:

i)(合成运算的封闭性)对G中所有的置换f与g,fg也属于G。

ii)(单位元)Sn中的恒等置换属于G。

iii)(逆元的封闭性)对G中的每一个置换f,它的逆f-1也属于G。

Sn称为n阶对称群。

设Ω是一个几何图形,Ω到它自身的一个(几何)运动称为Ω的一个对称

每个对称可看作是角点(或顶点)、边及三维情形下的面上的一个置换

两个对称的合成仍得一个对称,一个对称的逆也是一个对称,使所有对象固定不动的运动也是一个对称即恒等对称。

Ω的对称就是它的角点上的置换群GC、边上的置换群GE以及Ω是三维情形下的面上的置换群GF。因此由图形的所有对称决定的置换集合自然是一个置换群,从而得到了角点对称群、边对称群、面对称群等等。

正n角形的(角点)对称群,除n个旋转外,还有n个反射。如果n为偶数,则有n/2个关于对角点的反射和n/2个关于对边中点连线的反射。如果n为奇数,则有n个关于角点与其对边中点的连线的反射。